И их характеристики
Учебные материалы


И их свойства



Карта сайта

Загрузка...

Характеристикой среднего значения случайной величины является

математическое ожидание

. Математическое ожиданиедискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности .

Пусть задан ряд распределения случайной величины :

...
...

Обозначим математическое ожидание случайной величины , тогда получим:

. (4.1)

Математическое ожидание часто называют центром распределения, так как оно характеризует среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: , где .

Доказательство.

Пусть распределение вероятностей случайной величины задано в виде таблицы:

Тогда , поскольку .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство.

Пусть распределение вероятностей случайной величины задано в таблице:

Тогда .

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

.

Доказательство.

Пусть и случайные величины с законами распределения:

Тогда распределение случайной величины будет:

...
...

Действительно, обозначим события: ; . Для того, чтобы произошло событие , необходимо, чтобы произошло и событие , и событие , то есть .

Тогда

.

.

и , так как значения и значения образуют полную группу событий и соответственно.

Следствие 1. Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий:

.

Доказательство.

.

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением.

Следствие 2. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: .

Доказательство.

.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство.

Пусть и случайные величины с законами распределения:

Найдем закон распределения случайной величины :

...

Действительно, если события ; , то событие , то есть .

.

Пример 1.

В лотерее билетов. На билетов нет выигрыша, на билетов можно выиграть гривну, на билетов выпадает выигрыш по гривны, на 15 – по 3 гривны, на 10 – по 5 гривен и на 10 – по 10 гривен. Необходимо найти математическое ожидание выигрыша.



Решение.

Ряд распределения случайной величины – размер выигрыша в лотерее – имеет вид:

0,2 0,25 0,2 0,15 0,1 0,1

.

Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства

Характеристикой степени рассеяния случайной величины около ее математического ожидания является

дисперсия

.

Дисперсией дискретной случайной величины есть матема-тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания, то есть:

. (4.2)

Преобразуем формулу (4.2) для вычисления дисперсии.

,

то есть:

. (4.3)

Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

, где .

Доказательство.

Пусть , тогда:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате:

.

Доказательство.

Действительно,

.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

Доказательство.

По определению дисперсии и на основании свойств имеем:

, ( и ).

4. Дисперсия разности двух случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Доказательство.

.

Среднее квадратическое отклонение. Коэффициент вариации. Мода, медиана. Начальный и центральный моменты

Среднее квадратическое отклонение

является мерой рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины – это квадратный корень из дисперсии, то есть:

. (4.4)

Коэффициент вариации

– это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию, выраженное в процентах:

. (4.5)

Коэффициент вариации дает возможность сравнить степень рассеяния разных по природе случайных величин.

Мода

– это значение случайной величины с максимальной вероятностью.

Медиана

– это значение случайной величины , которое разделяет ряд распределения пополам.

Начальный момент

-го порядка – это математическое ожидание -ой степени величины :

. (4.6)

Так начальный момент первого порядка – это математическое ожидание величины , – математическое ожидание квадрата величины и т. д.

Центральный момент

-го порядка – это математическое ожидание -ой степени отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

. (4.7)

Так, ; .

Пример 2.

Задан ряд распределения дискретной случайной величины :

0,4 0,3 0,3

Найти числовые характеристики величины

Решение.

1. Математическое ожидание:

.

2. Дисперсия:

или

.

3. Среднее квадратическое отклонение:

.

4. Мода: .

5. Медиана: .

6. Коэффициент вариации: .

7. Начальный момент: ; .

8. Центральный момент: ; .

Моменты высшего порядка можно использовать для того, чтобы отдифференцировать влияние больших по величине, но маловероятных значений случайной величины.

Пример 3.

Задан ряд распределения дискретной случайной величины :

0,5 0,48 0,02

Определить начальные моменты величины

Решение.

.

.

.

.

Момент полностью зависит от значения .

Таким образом, отдифференцировано влияние большого, но маловероятного значения случайной величины.



edu 2018 год. Все права принадлежат их авторам! Главная